Tìm diện tích

Tiêu đề: Tìm diện tích Tue 13 Oct 2020, 13:32

Kính nhờ thầy và Trà Mi :
71 năm trước (1951) tôi học lớp Nhất, rất mê giải các bài toán vui ở sách "Toán pháp lớp Nhât", trong đó bài toán "con muỗi" đã được thầy AH giải, bài này thời ấy cũng chỉ có một người giải được, nhưng ở thời điểm đã là gv, còn hs thì chưa thấy ai giải được. Các bài toán vui tôi giải gần hết, còn bài "con muỗi" và hai bài toán hình chưa giải được; năm học Đệ Thất tôi giải tiếp nhưng vẫn mắc, nay đưa lên đây nhờ thầy và Trà Mi.
Đề bài : Tìm diện tích hình Tam giác đều và hình vuông nội tiếp trong đường tròn, cho bán kính.
Nếu không phiền, nhờ Trà Mi vẽ hai hình của hai đề bài : hình vuông nội tiếp và Tam giác đều nội tiếp, rồi đưa vào mục Đố vui để mọi người giải cho vui, sau đó Trà Mi và thầy sẽ giải đáp.

Tiêu đề: Re: Tìm diện tích Tue 13 Oct 2020, 19:53

Tiêu đề: Re: Tìm diện tích Wed 14 Oct 2020, 06:46

Trà Mi đã viết:

Cảm ơn Trà Mi.
Hai bài này trước đây tôi không giải được, nhưng bây giờ nhìn hình vẽ tôi có suy luận thế này :
Hình vuông ABCD có bốn đỉnh nằm trên đường tròn, vậy các đường chéo AC và BD có độ dài bằng đường kính hình tròn ngoại tiếp. Hình vuông ABCD bao gồm hai hình tam giác ABC và CDA, mỗi tam giác này có chiều cao bằng bán kính, chiều đáy bằng đường kính. Diện tích một tam giác : (r x K)/2.
Diện tích hai tam giác hay diện tích hình vuông = r x K, hay bán kính nhân đường kính. Khai căn dt thì tìm được cạnh hình vuông. (Lớp Nhất có học khai căn).
Các cung AB, BC, CD, DA = 360 độ/4 – 90 độ. Độ dài các cung này = ¼ chu vi.
Biết cạnh hình vuông tức biết độ dài các dây cung AB, BC, CD, DA.
+ Ở bài tam giác đều nội tiếp, tg ABC cũng là tg cân, có đường Phân giác, Trung tuyến, Trung trực, đường cao trùng nhau. Có một Qui tắc tôi không còn nhớ rõ, chỉ nhớ đoạn cuối = 1/3 kể từ đáy. Suy ra, đường cao AH = ¾ đường kính.
Các cung AB, BC, CA = 120 độ, có độ dài cung = 1/3 chu vi đường tròn.
So sánh tỷ lệ độ dài cung và dây cung ở bài hình vuông nội tiếp với độ dài cung và dây cung ở bài hình tam giác đều có thể tính được độ dài các dây cung AB, BC, CA hay cạnh của tg đều nội tiếp. Biết cạnh, biết chiều cao, tính ra diện tích.
Trên đây là những suy luận tôi mới nẩy sinh khi nhìn cụ thể hình vẽ, diễn giải còn lủng củng, nhờ thầy và Trà Mi xác minh.

Tiêu đề: Re: Tìm diện tích Wed 14 Oct 2020, 07:18

buixuanphuong09 đã viết:

Trà Mi đã viết:

Cảm ơn Trà Mi.
Hai bài này trước đây tôi không giải được, nhưng bây giờ nhìn hình vẽ tôi có suy luận thế này :
Hình vuông ABCD có bốn đỉnh nằm trên đường tròn, vậy các đường chéo AC và BD có độ dài bằng đường kính hình tròn ngoại tiếp. Hình vuông ABCD bao gồm hai hình tam giác ABC và CDA, mỗi tam giác này có chiều cao bằng bán kính, chiều đáy bằng đường kính. Diện tích một tam giác : (r x K)/2.
Diện tích hai tam giác hay diện tích hình vuông = r x K, hay bán kính nhân đường kính. Khai căn dt thì tìm được cạnh hình vuông. (Lớp Nhất có học khai căn).
Các cung AB, BC, CD, DA = 360 độ/4 – 90 độ. Độ dài các cung này = ¼ chu vi.
Biết cạnh hình vuông tức biết độ dài các dây cung AB, BC, CD, DA.
+ Ở bài tam giác đều nội tiếp, tg ABC cũng là tg cân, có đường Phân giác, Trung tuyến, Trung trực, đường cao trùng nhau. Có một Qui tắc tôi không còn nhớ rõ, chỉ nhớ đoạn cuối = 1/3 kể từ đáy. Suy ra, đường cao AH = ¾ đường kính.
Các cung AB, BC, CA = 120 độ, có độ dài cung = 1/3 chu vi đường tròn.
So sánh tỷ lệ độ dài cung và dây cung ở bài hình vuông nội tiếp với độ dài cung và dây cung ở bài hình tam giác đều có thể tính được độ dài các dây cung AB, BC, CA hay cạnh của tg đều nội tiếp. Biết cạnh, biết chiều cao, tính ra diện tích.
Trên đây là những suy luận tôi mới nẩy sinh khi nhìn cụ thể hình vẽ, diễn giải còn lủng củng, nhờ thầy và Trà Mi xác minh.

tỷ lệ độ dài dây cung khác với tỷ lệ độ dài cung bác ui!

bác chỉ có thể tính độ dài dây cung bằng công thức lượng giác hoặc định lý Pythagore thui :mim:

Tiêu đề: Re: Tìm diện tích Wed 14 Oct 2020, 07:40

Những kiến thức này PN trả lại cho các thầy cô giáo phổ thông hết rùi. Trong đầu giờ không còn gì nữa :potay:

Tiêu đề: Re: Tìm diện tích Wed 14 Oct 2020, 08:12

Tính diện tích hình vuông, có ba cách giải:

1) Chia hình vuông thành 4 tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng bán kính vòng tròn.

S = 4 x (R.R)/2
S= 2R²

2) Chia hình vuông thành 2 tam giác vuông cân có cạnh đáy bằng 2 bán kính và chiều cao bằng bán kính vòng tròn (cách của bác)

S = 2 x (2R.R)/2
S = 2R²

3) Xem hình vuông là hình thoi, diện tích hình thoi bằng nửa tích số hai đường chéo

S = (2R.2R)/2
S = 2R²

Tính diện tích tam giác đều có 2 cách giải:

1) Tính cạnh đáy và chiều cao

gọi cạnh tam giác đều là a thì chiều cao h = (a√3)/2
điểm O nằm ở 2/3 chiều cao tính từ đỉnh nên chiều cao h = R + R/2 = (3/2) R
so sánh (a√3)/2 = (3/2) R => a = R√3
S = ah/2 = R√3 x (3/2) R/2
S = (3√3)R²/4

cũng có thể áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều: S = (a²√3)/4 = (R√3)²(√3)/4
S = (3√3)R²/4

2) Chia tam giác đều thành 6 tam giác nhỏ

mỗi tam giác nhỏ là một nửa tam giác đều có cạnh bằng R, như vậy tổng diện tích bằng 3 lần diện tích tam giác đều có cạnh R

S = 3 x (R²√3)/4

Tiêu đề: Re: Tìm diện tích Wed 14 Oct 2020, 17:00

Trà Mi đã viết:: Tính diện tích hình vuông, có ba cách giải:

1) Chia hình vuông thành 4 tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng bán kính vòng tròn.

S = 4 x (R.R)/2
S= 2R²

2) Chia hình vuông thành 2 tam giác vuông cân có cạnh đáy bằng 2 bán kính và chiều cao bằng bán kính vòng tròn (cách của bác)

S = 2 x (2R.R)/2
S = 2R²

3) Xem hình vuông là hình thoi, diện tích hình thoi bằng nửa tích số hai đường chéo

S = (2R.2R)/2
S = 2R²

Tính diện tích tam giác đều có 2 cách giải:

1) Tính cạnh đáy và chiều cao

gọi cạnh tam giác đều là a thì chiều cao h = (a√3)/2
điểm O nằm ở 2/3 chiều cao tính từ đỉnh nên chiều cao h = R + R/2 = (3/2) R
so sánh (a√3)/2 = (3/2) R => a = R√3
S = ah/2 = R√3 x (3/2) R/2
S = (3√3)R²/4

cũng có thể áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều: S = (a²√3)/4 = (R√3)²(√3)/4
S = (3√3)R²/4

2) Chia tam giác đều thành 6 tam giác nhỏ

mỗi tam giác nhỏ là một nửa tam giác đều có cạnh bằng R, như vậy tổng diện tích bằng 3 lần diện tích tam giác đều có cạnh R

S = 3 x (R²√3)/4

Cảm ơn Trà Mi. Như vậy, về cách tính dt hình vuông của tôi cơ bản là đúng, có điều tôi không biết diễn giải mạch lạc. Về cách tính dt tam giác đều như Trà Mi tôi cũngđã được học nhưng quên hết rồi, được Trà Mi dẫn giải tôi sáng tỏ ra nhiều. Như vậy, ba bài mắc nhất trong "Toán pháp lớp Nhất" đến nay đã được giải toả. Dù sắp về với đất, biết thêm một chút cũng sung sướng lắm. Cả đời khát học giờ mới được thoả mãn. Cảm ơn thầy và Trà Mi.

Tiêu đề: Re: Tìm diện tích Thu 15 Oct 2020, 17:49

Trà Mi đã viết:: Tính diện tích hình vuông, có ba cách giải:

1) Chia hình vuông thành 4 tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng bán kính vòng tròn.

S = 4 x (R.R)/2
S= 2R²

2) Chia hình vuông thành 2 tam giác vuông cân có cạnh đáy bằng 2 bán kính và chiều cao bằng bán kính vòng tròn (cách của bác)

S = 2 x (2R.R)/2
S = 2R²

3) Xem hình vuông là hình thoi, diện tích hình thoi bằng nửa tích số hai đường chéo

S = (2R.2R)/2
S = 2R²

Tính diện tích tam giác đều có 2 cách giải:

1) Tính cạnh đáy và chiều cao

gọi cạnh tam giác đều là a thì chiều cao h = (a√3)/2
điểm O nằm ở 2/3 chiều cao tính từ đỉnh nên chiều cao h = R + R/2 = (3/2) R
so sánh (a√3)/2 = (3/2) R => a = R√3
S = ah/2 = R√3 x (3/2) R/2
S = (3√3)R²/4

cũng có thể áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều: S = (a²√3)/4 = (R√3)²(√3)/4
S = (3√3)R²/4

2) Chia tam giác đều thành 6 tam giác nhỏ

mỗi tam giác nhỏ là một nửa tam giác đều có cạnh bằng R, như vậy tổng diện tích bằng 3 lần diện tích tam giác đều có cạnh R

S = 3 x (R²√3)/4

Có lẽ Trà Mi nhầm. Nếu chia tg đều lớn nội tiếp trong đường tròn thành 6 tg nhỏ, thì mỗi tg nhỏ bằng ½ tg CÂN có hai cạnh bên bằng bán kính đường tròn. (không phải tg đều). Dựa vào cách giải của Trà Mi, tôi suy luận thế này :
Các đường cao của tg ABC gặp nhau tại tâm của đường tròn ngoại tiếp, tạo thành 6 góc bằng nhau và bằng 60 độ.
Kéo dài các đường cao của tg ABC gặp đường tròn tại các điểm AE -> G; BF -> L và CD -> M. Xét tg BOG : là tg cân, có hai cạnh bên OB = OG (bán kính), có góc ở đỉnh bằng 60 độ, hai góc ở đáy bằng nhau và bằng 60 độ. Vậy BOG là tg đều. Suy ra cạnh GB = OB = OG = bán kính.
Áp dụng công thức tính diện tích S = (a²√3)/4, a ở đây chính là R nên có thể thay vào S = (R²√3)/4. TG đều này có diện tích bằng hai tg nhỏ của tg đều nội tiếp.
Như vậy, tính được dt tg đều nhỏ thì tính được tg đều lớn.

Tiêu đề: Re: Tìm diện tích Thu 15 Oct 2020, 20:16

buixuanphuong09 đã viết:

Trà Mi đã viết:: Tính diện tích hình vuông, có ba cách giải:

1) Chia hình vuông thành 4 tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng bán kính vòng tròn.

S = 4 x (R.R)/2
S= 2R²

2) Chia hình vuông thành 2 tam giác vuông cân có cạnh đáy bằng 2 bán kính và chiều cao bằng bán kính vòng tròn (cách của bác)

S = 2 x (2R.R)/2
S = 2R²

3) Xem hình vuông là hình thoi, diện tích hình thoi bằng nửa tích số hai đường chéo

S = (2R.2R)/2
S = 2R²

Tính diện tích tam giác đều có 2 cách giải:

1) Tính cạnh đáy và chiều cao

gọi cạnh tam giác đều là a thì chiều cao h = (a√3)/2
điểm O nằm ở 2/3 chiều cao tính từ đỉnh nên chiều cao h = R + R/2 = (3/2) R
so sánh (a√3)/2 = (3/2) R => a = R√3
S = ah/2 = R√3 x (3/2) R/2
S = (3√3)R²/4

cũng có thể áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều: S = (a²√3)/4 = (R√3)²(√3)/4
S = (3√3)R²/4

2) Chia tam giác đều thành 6 tam giác nhỏ

mỗi tam giác nhỏ là một nửa tam giác đều có cạnh bằng R, như vậy tổng diện tích bằng 3 lần diện tích tam giác đều có cạnh R

S = 3 x (R²√3)/4

Có lẽ Trà Mi nhầm. Nếu chia tg đều lớn nội tiếp trong đường tròn thành 6 tg nhỏ, thì mỗi tg nhỏ bằng ½ tg CÂN có hai cạnh bên bằng bán kính đường tròn. (không phải tg đều). Dựa vào cách giải của Trà Mi, tôi suy luận thế này :
Các đường cao của tg ABC gặp nhau tại tâm của đường tròn ngoại tiếp, tạo thành 6 góc bằng nhau và bằng 60 độ.
Kéo dài các đường cao của tg ABC gặp đường tròn tại các điểm AE -> G; BF -> L và CD -> M. Xét tg BOG : là tg cân, có hai cạnh bên OB = OG (bán kính), có góc ở đỉnh bằng 60 độ, hai góc ở đáy bằng nhau và bằng 60 độ. Vậy BOG là tg đều. Suy ra cạnh GB = OB = OG = bán kính.
Áp dụng công thức tính diện tích S = (a²√3)/4, a ở đây chính là R nên có thể thay vào S = (R²√3)/4. TG đều này có diện tích bằng hai tg nhỏ của tg đều nội tiếp.
Như vậy, tính được dt tg đều nhỏ thì tính được tg đều lớn.

Hổng nhầm đâu bác. Tam giác vuông có một góc 60 độ là "nửa tam giác đều". Bác học tính chất hình "nửa tam giác đều" chưa? :qq:

Tiêu đề: Re: Tìm diện tích Thu 15 Oct 2020, 20:52

Trà Mi đã viết:

buixuanphuong09 đã viết:

Trà Mi đã viết:: Tính diện tích hình vuông, có ba cách giải:

1) Chia hình vuông thành 4 tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng bán kính vòng tròn.

S = 4 x (R.R)/2
S= 2R²

2) Chia hình vuông thành 2 tam giác vuông cân có cạnh đáy bằng 2 bán kính và chiều cao bằng bán kính vòng tròn (cách của bác)

S = 2 x (2R.R)/2
S = 2R²

3) Xem hình vuông là hình thoi, diện tích hình thoi bằng nửa tích số hai đường chéo

S = (2R.2R)/2
S = 2R²

Tính diện tích tam giác đều có 2 cách giải:

1) Tính cạnh đáy và chiều cao

gọi cạnh tam giác đều là a thì chiều cao h = (a√3)/2
điểm O nằm ở 2/3 chiều cao tính từ đỉnh nên chiều cao h = R + R/2 = (3/2) R
so sánh (a√3)/2 = (3/2) R => a = R√3
S = ah/2 = R√3 x (3/2) R/2
S = (3√3)R²/4

cũng có thể áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều: S = (a²√3)/4 = (R√3)²(√3)/4
S = (3√3)R²/4

2) Chia tam giác đều thành 6 tam giác nhỏ

mỗi tam giác nhỏ là một nửa tam giác đều có cạnh bằng R, như vậy tổng diện tích bằng 3 lần diện tích tam giác đều có cạnh R

S = 3 x (R²√3)/4

Có lẽ Trà Mi nhầm. Nếu chia tg đều lớn nội tiếp trong đường tròn thành 6 tg nhỏ, thì mỗi tg nhỏ bằng ½ tg CÂN có hai cạnh bên bằng bán kính đường tròn. (không phải tg đều). Dựa vào cách giải của Trà Mi, tôi suy luận thế này :
Các đường cao của tg ABC gặp nhau tại tâm của đường tròn ngoại tiếp, tạo thành 6 góc bằng nhau và bằng 60 độ.
Kéo dài các đường cao của tg ABC gặp đường tròn tại các điểm AE -> G; BF -> L và CD -> M. Xét tg BOG : là tg cân, có hai cạnh bên OB = OG (bán kính), có góc ở đỉnh bằng 60 độ, hai góc ở đáy bằng nhau và bằng 60 độ. Vậy BOG là tg đều. Suy ra cạnh GB = OB = OG = bán kính.
Áp dụng công thức tính diện tích S = (a²√3)/4, a ở đây chính là R nên có thể thay vào S = (R²√3)/4. TG đều này có diện tích bằng hai tg nhỏ của tg đều nội tiếp.
Như vậy, tính được dt tg đều nhỏ thì tính được tg đều lớn.

Hổng nhầm đâu bác. Tam giác vuông có một góc 60 độ là "nửa tam giác đều". Bác học tính chất hình "nửa tam giác đều" chưa? :qq:

Cảm ơn Trà Mi. Tôi hiểu rồi. Trà Mi viết "mỗi tam giác nhỏ là một nửa tam giác đều có cạnh bằng R", nhưng tôi lại liên hê BOE bằng 1/2 BOC, cho nên mới bảo BOC là tg cân. Cái đầu già không minh mẫn nhận thức ra. Nhưng cũng chả sao, phải không Trà Mi? Có thế tôi mới động não suy ra như trên. Cả việc thầy AH bảo là nhầm cũng có gì quan trọng đâu. Tất cả là cái duyên khiến tôi càng gắn bó với ĐVTC. Hi Hi Hi!!! :cheers: